วันพฤหัสบดีที่ 5 กันยายน พ.ศ. 2556

ทศนิยม

ทศนิยม

ทศนิยมนั้นจะเข้ามามีบทบาทในชีวิตประจำวันของเราตลอด ไม่ว่าจะเป็นการบอกค่าของเงินที่เราใช้
การบอกเวลา บอกหน่วยความยาว ฯลฯ

     -    การเขียนทศนิยมในรูปกระจายเป็นการเขียนในรูปการบวกค่าของตัวเลขในหลักต่าง ๆ ของทศนิยมนั้น
      - ทศนิยม หมายถึง การเขียนตัวเลขแสดงจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 1 หรือการเขียนตัวเลขประเภทเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10,100,1000 แต่เปลี่ยนรูปจากเศษส่วนมาเป็นรูปทศนิยม โดยใช้เครื่องหมาย . (จุด) แทน
      - ทศนิยมและเศษส่วน ทศนิยมหนึ่งตำแหน่งเทียบได้กับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นสิบ และทศนิยมสอง
ตำแหน่งเทียบได้กับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นร้อย
  ทศนิยม      หมายถึง ค่าของจำนวนเต็มที่แบ่งออกเป็นสิบส่วน ร้อยส่วน พันส่วน .... เท่า ๆ กัน ซึ่งเขียนได้
ในรูปของเศษส่วน

1. การบวกทศนิยม
การบวกทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกันแล้วบวกตัวเลขที่อยู่ในหลักเดียวกัน ถ้าผลบวกได้เกิน 9 ให้ทศไปยังหลักข้างหน้าเหมือนการบวกจำนวนนับ
ตัวอย่าง42.36 + 23.86 = ?
วิธีทำ
คุณสมบัติสลับที่ของการบวกเช่น5.3 + 4.6 = 4.6 + 5.3 = 9.9
คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวกเช่น
( 0.14+0.83)+0.13 = 0.14 + (0.83 + 0.13) = 1.10

2. การลบทศนิยม
การลบทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกันแล้วลบจำนวนที่อยู่ในหลักเดียวกันถ้าตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบให้กระจายหลักข้างหน้ามาเหมือนกับจำนวนนับ
ตัวอย่าง4.35 - 2.19 = ?
วิธีทำ

3. โจทย์ปัญหาการบวกและลบทศนิยม
ขั้นตอนการทำโจทย์ปัญหาการบวกและลบทศนิยม มีดังนี้
1.) ถ้ากำหนดจำนวนสิ่งของให้ และบอกจำนวนที่เพิ่มขึ้น ใช้วิธีบวก
2.) ถ้ากำหนดจำนวนสิ่งของให้ และบอกจำนวนที่ลดลง ใช้วิธีลบ
ตัวอย่างจ่ายค่าหนังสือเป็นเงิน206.5 บาท จ่ายค่าสมุดเป็นเงิน 150 บาท ให้ธนบัตรใบละ 500 บาท จะได้รับเงินทอนกี่บาท
ประโยคสัญลักษณ์500 - (206.5 + 150 ) = ?
วิธีทำ
จ่ายค่าหนังสือเป็นเงิน206.50 บาท
จ่ายค่าสมุดเป็นเงิน150.00 บาท
จ่ายเงินค่าสมุดและดินสอเป็นเงิน356.50 บาท
ให้ธนบัตรใบละ500.00 บาท
จ่ายค่าหนังสือและสมุด356.50 บาท
จะได้รับเงินทอน143.50 บาท

4. การคูณทศนิยม
1. การหาผลคูณโดยใช้การบวก เช่น2 x 3.5 = 3.5 + 3.5 = 7.0
2. การหาผลคูณโดยการเปลี่ยนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนเช่น
3. การหาผลคูณโดยวิธีลัดให้คูณเหมือนการคูณจำนวนนับด้วยจำนวนนับ และผลคูณจะมีตำแหน่งทศนิยมเท่ากับทศนิยมที่โจทย์กำหนดให้ เช่น3x0.7 = 2.1 หรือ4 x2.17 = 8.68 เป็นต้น
คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณเช่น5x0.8 = 0.8x5 =4.0

5. โจทย์การปัญหาการคูณทศนิยมมีหลักดังนี้
ขั้นตอนการทำโจทย์การปัญหาการคูณทศนิยม
1.) อ่านโจทย์ให้เข้าใจว่าโจทย์กำหนดสิ่งใดให้ และต้องการทราบอะไร
2.) พิจารณาวิธีหาคำตอบโดยถ้าโจทย์กำหนดจำนวนสิ่งของให้และบอกว่าเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าจะใช้วิธีการคูณ
ตัวอย่างซื้อผ้าเช็ดหน้า 1/2 โหล ราคาผืนละ 5.25 บาท ให้ธนบัตรใบละ100 บาท จะได้รับเงินทอนกี่บาท
ประโยคสัญลักษณ์100 - (5.25x6) = ?
วิธีทำซื้อผ้าเช็ดหน้าราคาผืนละ5.25 บาท
ผ้าเช็ดหน้า 1/2 โหลเท่ากับ6 ผืน
จ่ายเงินค่าผ้าเช็ดหน้า6x5.25 = 31.50 บาท
ให้ธนบัตร100 บาท
จะได้รับเงินทอน100 - 31.50 = 63.50 บาท
ทดสอบความเข้าใจ
ข้อ 1. จงหาค่าของ(7.58 - 3.61) + 2.95 = ?
ก.5.92 ข.6.82 ค.6.92 ง.14.14
ข้อ 2. แดงมีเงิน 24.50 บาท ซื้อหนังสือ 1 เล่มราคา15 บาทแดงมีเงินเหลือกี่บาท
ก.9 ข.9.50 ค.10 ง.10.50
ข้อ 3. เชือกยาวเส้นละ2.35 เมตรถ้านำมาวางต่อกัน10 เส้น จะได้เชือกยาวกี่เมตร
ก.12.35 ข.23.5 ค.235 ง.2,350
อ้างอิง
http://blog.eduzones.com/jipatar/85901 วันที่ 6 กันยายน 2556

จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ

ในทางคณิตศาสตร์, จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์

จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น 3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2 รูปแบบที่เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้

ทศนิยม เป็นรูปแบบที่แผ่ขยายออกมา และต่อเนื่องไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ยกเว้นกรณีซ้ำศูนย์ เราสามารถละ โดยไม่ต้องเขียนได้) ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน

จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ

แผนภูมิจำนวนจริง

1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น

เขียนแทนด้วย 0.5000...

เขียนแทนด้วย 0.2000...

• ระบบจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น

2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

• ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I ^- โดยที่
I ^- = {..., -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I ^- เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ

2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)

3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I⁺ โดยที่
I⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I⁺ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
N = I⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}

ในทางคณิตศาสตร์ "...ตรรกยะ" หมายถึง เราจำกัดขอบเขตให้อยู่ในระบบจำนวนตรรกยะเท่านั้น เช่น พหุนามตรรกยะ

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$ เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเราใช้สัญลักษณ์ Q หรือตัวใหญ่บนกระดานดำ $\mathbb{Q}$ โดยใช้เซตเงื่อนไข ได้ดังนี้

จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่เขียนแทนในรูปเศษส่วน เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ
<== หมายเหตุ == > ตัวอย่างจำนวนที่เป็นจำนวนตรรกยะ เช่น จำนวนเต็ม , เศษส่วน , ทศนิยมซ้ำ เป็นต้น

แบบที่ 1 การทำให้เศษเป็น 10 ,100 , 1000 ,... โดยอาศัยความรู้เรื่องของเศษส่วนที่เท่ากัน เช่น
(1)	(2)


แบบที่ 2 ใช้หลักของการหารยาว เช่น
(1) จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปของทศนิยม	(2) จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปของทศนิยม

(3) จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปของทศนิยม	(4) จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปทศนิยม


::: สรุป ::: ในเรื่องเกี่ยวกับการเปลี่ยนเศษส่วนให้เป็นทศนิยม เราจะได้ทศนิยมซ้ำศูนย์หรือทศนิยมที่ซ้ำตัวเลขอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
หมายเหตุ ==> ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น อ่านว่า ศูนย์จุดสี่ศูนย์ ศูนย์ซ้ำ
==> ทศนิยมซ้ำตัวเลข เช่น อ่านว่า ศูนย์จุดห้าสี่ห้าสี่ซ้ำ



ในที่นี้ขอแนะนำ 2 วิธี คือ
1. การทำให้ตัวที่ซ้ำกันหมดไปโดยการเอาค่าประจำตำแหน่งคูณเข้าไปทั้งสมการเพื่อให้เกิดสมการใหม ่
ตัวอย่างที่ 1 จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปเศษส่วน


ตัวอย่างที่ 2 จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปเศษส่วน


2. ใช้สูตรลัด


ตัวอย่างที่ 3 จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปเศษส่วน


ตัวอย่างที่ 4 จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

รากที่สอง

บทนิยาม ให้ a

แทนด้วยจำนวนใด ๆ หรือศูนย์

รากที่สองของ a คือจำนวนที่ยกกำลัง สองแล้วได้
= a

ตัวอย่างเช่น:-

3 เป็นรากที่สองของ 9 เพราะเมื่อเอา 3²แล้วได้ = 9

หรือ

-3 ก็เป็นรากที่สองของ 9 เช่นกัน เพราะเมื่อเอา (-

3)²=9(ลบ x ลบ = บวก)
หรือ มีรากที่สองเป็น 3 และ -3

7 เป็นรากที่สองของ 49 เพราะเมื่อเอา 7²แล้วได้ =

49 หรือ

-7 ก็เป็นรากที่สองของ 49 เช่นกันเพราะเมื่อเอา(-

7)²= 49

หรือ มีรากที่สองเป็น 7 และ -7

แนวคิดคือ การจะหารากที่สองของจำนวนใด ๆ ก็ต้องคิดว่า จำนวนอะไร

เอ่ยที่คูณตัวเอง สองครั้ง(คูณตัวเองสองครั้งเรียกว่ายกกำลัง

สอง)จะได้จำนวนตามที่กำหนด ดังเช่นตัวอย่างข้างบน หรือ - ให้หา

ก็คือหาว่าเลขอะไรคูณตัวเองสองครั้งแล้วได้ 16

นั่นคือ 4x4 หรือ -4 x -4 ได้ 16 (ลบคูณลบจะได้ค่าเป็นบวก)

- หรือ ก็คือหาว่าเลขอะไรคูณตัวเองสองครั้งแล้วได้ 64

นั่นคือ 8 x 8 หรือ -8 x -8 ได้ 64 (ลบคูณลบจะได้ค่าเป็นบวก)

- หรือ

ก็คือหาว่าเลขอะไรคูณตัวเองสองครั้งแล้วได้

1225 นั่นคือ 35x35 หรือ (-35) x (-35) ได้ 64 ตัวอย่างนี้

ค่อนข้างจะลำบากต่อการที่จะคิดว่าอะไรคูณกันสองครั้งแล้ว

ได้ 1225

หารลงตัว

กฎการหารเลขลงตัว
(Divisibility Rules)
เพื่อหาผลคูณของตัวเลข (Product of Number)

ตัวอย่าง 783

รอบที่ 1

1.1 เลข 783 มีหลักหน่วยเป็นเลข 3 ดังนั้นเลขคู่ทั้งหมดและเลข 5 หาร 783 ไม่ลงตัวอย่างแน่นอน แสดงว่า 783 อาจจะถูกหารด้วย 3 หรือ 9 หรือ 11 ลงตัว
1.2 ลองนำเลขโดดทุกหลักของ 783 มาบวกกัน จะได้เป็น 7 + 8 + 3 = 18 ซึ่ง 18 หาร 9 ลงตัว ดังนั้นสรุปได้ว่า 783 หาร 9 ลงตัว ซึ่งได้ผลหารเท่ากับ 783 / 9 = 87

รอบที่ 2

2.1 ใช้วิธีการวิเคราะห์เหมือนรอบที่ 1 ซ้ำอีกครั้ง กล่าวคือ เลข 87 มีหลักหน่วยเป็นเลข 7 ดังนั้นเลขคู่ทั้งหมดและเลข 5 หาร 87 ไม่ลงตัวอย่างแน่นอน แสดงว่า 87 อาจจะถูกหารด้วย 3 หรือ 9 หรือ 11 ลงตัว
2.2 ลองนำเลขโดดทุกหลักของ 87 มาบวกกัน จะได้ว่า 8 + 7 = 15 ซึ่ง 15 หาร 3 ลงตัว ดังนั้นสรุปได้ว่า 87 หาร 3 ลงตัว ซึ่งได้ผลหารเท่ากับ 87 / 3 = 29

รอบที่ 3

3.1 เลข 29 เราทราบว่าเป็นจำนวนเฉพาะ (Prime number) เราจึงไม่สามารถหาผลคูณต่อไปได้

คำตอบ คือ

----------------------------------------------------------

อีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง 2,989
รอบที่ 1

1.1 เลข 2,989 มีหลักหน่วยเป็นเลข 9 ดังนั้นเลขคู่ทั้งหมดและเลข 5 หารมันไม่ลงตัวอย่างแน่นอน แสดงว่า 2,989 อาจจะถูกหารด้วย 3 หรือ 9 หรือ 11 ลงตัว
1.2 ลองนำเลขโดดทุกหลักของ 2,989 มาบวกกัน จะได้เป็น 2 + 9 + 8 + 9 = 28 ซึ่ง 28 หาร 3 และ 9 ไม่ลงตัว ดังนั้นสรุปได้ว่า 2,989 หารด้วย 3 หรือ 9 ไม่ลงตัว

1.3 ดังนั้นลองใช้วิธีตรวจสอบจำนวนที่หารด้วย 11 ลงตัว จะได้ว่า 2 + 8 = 10 และ 9 + 9 = 18 ซึ่ง 18 – 10 ไม่เท่ากับ 11 หรือ 0 ดังนั้น 2,989 จึงหารด้วย 11 ไม่ลงตัว

1.4 ดังนั้นเหลือตัวหารตัวสุดท้าย คือ หารด้วยเลข 7 ปรากฏว่า 2,989 / 7 = 427

คำตอบ คือ

----------------------------------------------------------

แบบฝึกหัด – ฝึกทำเพื่อเพิ่มความเร็วในการทำโจทย์

1. 219 =
2. 426 =

3. 560 =

4. 667 =

5. 2,387 =

6. 9,760 =

7. 3,608 =

8. 1,209 =

9. 15,840 =

10. 14,641 =

เฉลย

1. 219 = 3 * 73

2. 426 = 6 * 71

= 2 * 3 * 71

3. 560 = 10 * 56

= (5 * 2) * (8 * 7)

= (5 * 2) * (2 * 2 * 2) * 7

4. 667 = 23 * 29

5. 2,387 = (11 * 217)

= (11 * 7 * 31)

6. 9,760 = 10 * 976
= (5 * 2) * (4 * 244)

= (5 * 2) * (2 * 2) * (4 * 61)

= (5 * 2) * (2 * 2) * (2 * 2 * 61)

7. 3,608 = 8 * 451

= (2 * 2 * 2) * (11 * 41)

8. 1,209 = 31 * 39

9. 15,840 = 10 * 1,584

= (5 * 2) * (8 * 198)

= (5 * 2) * (2 * 2 * 2) * (9 * 22)

= (5 * 2) * (2 * 2 * 2) * (3 * 3 * 2 * 11)

10. 14,641 = 11 * 1,331

= 11 * (11 * 121)

= 11 * 11 * (11 * 11)

อ้างอิง

http://www.bloggang.com/mainblog.php?id=smartmathstutor&month=07-01-2013&group=72&gblog=6 วันที่ 6 กันยายน 2556

รูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม (Triangle)

คือ หนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต เป็นรูป 2 มิติ ที่ประกอบด้วยจุดยอด 3 จุดและด้าน 3 ด้านที่เป็นส่วนของเส้นตรง
ชนิดของรูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมแบ่งชนิดตามความยาวของด้านได้ดังนี้

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะเป็นรูปมุมเท่าอีกด้วย นั่นคือ มุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60°
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในในรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าจะมีขนาดเแตกต่างกัน


รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า	รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว	รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

รูปสามเหลี่ยมแบ่งชนิดตามขนาดของมุมภายในที่ใหญ่ที่สุด อธิบายด้วยองศา

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อีกสองด้าน คือ ด้านประกอบมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (

การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

การคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่พบเจอเป็นประจำในสถานการณ์ต่างๆ มีหลายวิธีที่จะหาคำตอบ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมบ้าง วิธีเหล่านี้เป็นสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใช้กันบ่อยๆ

ใช้เรขาคณิต

พื้นที่ S ของรูปสามเหลี่ยม คือ S = ½bh เมื่อ b คือความยาวของด้านใดๆในรูปสามเหลี่ยม (ฐาน) และ h (ส่วนสูง) คือระยะทางตั้งฉากระหว่างฐานกับจุดยอดที่ไม่ใช่ฐาน วิธีนี้แสดงให้เห็นได้ด้วยการสร้างรูปทางเรขาคณิต

เปลี่ยนรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มีพื้นที่เป็นสองเท่าของรูปสามเหลี่ยม จากนั้นเปลี่ยนเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ (สีเขียว) ขั้นแรก นำรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน หมุนไป 180° และวางมันบนด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นตัดส่วนหนึ่งของรูปและนำไปวางบนอีกด้านหนึ่ง เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ bh ฉะนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้จึงเท่ากับ ½bh

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับ ผลคูณไขว้ของสองเวกเตอร์

ใช้เวกเตอร์

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้ด้วยเวกเตอร์ ถ้า AB และ AC เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จาก A ไป B และ A ไป C ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD คือ |AB × AC| หรือขนาดของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ AB กับ AC |AB × AC| มีค่าเท่ากับ |h × AC| เมื่อ h แทนเวกเตอร์ส่วนสูง
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือ S = ½|AB × AC|

ใช้ตรีโกณมิติหาส่วนสูง h

ใช้ตรีโกณมิติ

ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วยตรีโกณมิติ จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ h = a sin γ นำไปแทนในสูตร S = ½bh ที่ได้จากข้างต้น จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ S = ½ab sin γ
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงเท่ากับ ab sin γ

ใช้พิกัด

ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และกำหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ B = (x₁, y₁) และ C = (x₂, y₂) แล้วพื้นที่ S จะคำนวณได้จาก 1/2 เท่าของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์

$egin{vmatrix}x_1 & x_2 y_1 & y_2 end{vmatrix}$

หรือ S = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|

ใช้สูตรของเฮรอน

อีกวิธีที่ใช้คำนวณ S ได้คือใช้สูตรเฮรอน

$S = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

เมื่อ s = ½ (a + b + c) คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม

ใช้ความยาวด้านและสูตรที่เสถียรเชิงตัวเลข

สูตรเฮรอนนั้นไม่เสถียรเชิงตัวเลขสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขนาดเล็กมากๆ วิธีที่ดีกว่าคือ เรียงความยาวของด้านตามนี้ a ≥ b ≥ c และคำนวณจาก

$S = 1/4sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}$

วงเล็บในสูตรนั้น จำเป็นต้องใส่ตามลำดับเพื่อป้องกันความไม่เสถียรเชิงตัวเลขในการหาค่า

รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ

ถ้ามีส่วนประกอบของรูปสามเหลี่ยม (จุดยอด หรือด้าน) 4 ส่วน อยู่บนระนาบเดียวกันแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะอยู่บนระนาบเดียวกัน นักเรขาคณิตได้ศึกษารูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบด้วย ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมในเรขาคณิตทรงกลม และ รูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลาในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา
อ้างอิง
http://blog.eduzones.com/dena/3746 วันที่ 6 กันยายน 2556